cercle des neuf points

cercle de Feuerbach
cercle d'Euler
cercle de Terquem

GEOMETRIE

Le cercle d'Euler passe par les neuf points suivants :
- les milieux des côtés du triangle,
- les pieds des hauteurs,
- les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] où H est l'orthocentre du triangle ABC.

En dépit du nom souvent donné de cercle d’Euler, c’est Brianchon et Poncelet qui ont démontré que les mileux des côtés et les pieds des hauteurs sont cocycliques.
Feuerbach démontra ensuite que ce cercle est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et intérieurement au cercle inscrit .
Terquem démontra plus tard que les milieux des segments entre l’orthocentre et les sommets du triangle sont également sur ce cercle, portant à neuf le nombre de points connus sur le cercle.
Euler avait démontré que le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit O et l’orthocentre H sont alignés (c’est la droite d’Euler), plus précisément O est l’image de H dans l’homothétie de centre G et de rapport -1/2.
Le cercle des neuf points est l’image du cercle circonscrit dans cette même homothétie ainsi que dans celle de centre H et de rapport 1/2. Son centre est donc sur la droite d’Euler .
Plus récemment on a trouvé plusieurs dizaines de points particuliers qui se trouvent sur le cercle des neuf points.

Voir aussi :

Les Belles Figures. T. 1.

Pour en savoir plus :

http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/feuerbach.html
http://www.les-mathematiques.net/g/a/c/node10.php
http://serge.mehl.free.fr/anx/dte_euler.html

Aidez-nous à améliorer cette notice Mise à jour 04/09/2017 13h55