matrice de Gram

déterminant de Gram

ALGEBRE

Soit E un espace vectoriel euclidien et u=(u1, ……,un) une famille de n vecteurs, la matrice de Gram de cette famille est la matrice formée par tous les produits scalaires ui.uj. Son déterminant noté Gram(u) est appelé le déterminant de Gram de u.
La matrice de Gram est toujours positive.
Si le déterminant de Gram de u est non nul , la famille u est libre.
L’intérêt des déterminants de Gram est de permettre de calculer des distances en application du théorème suivant : V étant un sous-espace vectoriel de E muni de la base ( e1, ……en) et v un vecteur de E, alors la distance de v à V est telle que d2 = Gram(e1, ……en,v)/ Gram(e1, ……en).

Voir aussi :

Géométrie pour le CAPES de mathématiques.

Pour en savoir plus :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./g/gram.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_de_Gram

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