théorème de Fermat

théorème de Fermat-Wiles
grand théorème de Fermat

ANALYSE
ARITHMETIQUE

« Grand » théorème de Fermat , longtemps seulement conjecture de Fermat, devenu théorème de Fermat-Wiles depuis que ce dernier a démontré ce résultat.
En marge d’un exemplaire de l’Arithmétique de Diophante , à propos du problème : Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstra-tionem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet, Fermat avait noté vers 1630 : « J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition , mais la marge est trop étroite pour la contenir ».
En termes modernes il s’agit du problème suivant : l’équation xn+yn = zn n’a pas de solution entière pour n supérieur à 2,
Pendant les 18ème et 19ème siècles, Leonhard Euler , Sophie Germain , Peter Gustav Dirichlet , Adrien-Marie Legendre , Ernst Kummer le résolvent pour certaines valeurs de n.
En 1986, le lien est reconnu entre la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil sur des courbes elliptiques et le théorème de Fermat.
C’est en 1994 qu'Andrew Wiles donne une solution complète qui repose sur des méthodes que Fermat ne pouvait pas avoir utilisées.

Méthode de la démonstration de Wiles :
La démonstration d'Andrew Wiles s'appuie sur de nombreux travaux antérieurs et peut se résumer ainsi :
1. Associer aux solutions de l'équation de Fermat une courbe elliptique particulière (Frey, reprenant des idées d'Hellegouarch),
2. Démontrer que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires (Ribet , démontrant une conjecture de Serre ),
3. Démontrer que toute courbe elliptique – ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch – est paramétrée par des fonctions modulaires : C'est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si importante en théorie des nombres.
La contradiction qui en résulte montre que l'équation de Fermat ne peut avoir de solutions.

Si Fermat avait une « merveilleuse » démonstration complète, celle-ci n’a pas encore été retrouvée, malgré les travaux de nombreux mathématiciens depuis 350 ans, recherches qui sont pour une part à l’origine du développement de la théorie des nombres.

Voir aussi :

Repères-IREM. Num. 71. p. 23-39. Les démonstrations en arithmétique : à propos de quelques preuves historiques du petit théorème de Fermat.

Pour en savoir plus :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat

Aidez-nous à améliorer cette notice Mise à jour 01/05/2016 10h50